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Álgebra A 62
2026
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ÁLGEBRA A 62 UBA XXI
CÁTEDRA ESCAYOLA
1.
En cada uno de los siguientes casos, decidir gráfica y analíticamente cuáles de los puntos pertenecen a la recta $L$.
b) $L=\left\{X \in \mathbb{R}^{3}: X=\lambda(-1,1,1)+(3,-3,-3), \lambda \in \mathbb{R}\right\} \subset \mathbb{R}^{3}$.
b) $L=\left\{X \in \mathbb{R}^{3}: X=\lambda(-1,1,1)+(3,-3,-3), \lambda \in \mathbb{R}\right\} \subset \mathbb{R}^{3}$.
$P_{1}=(3,-3,-3), P_{2}=(0,0,0), P_{3}=(-1,1,1), P_{4}=(3,4,0), P_{5}=\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$.
Respuesta
Tenemos la recta $L$ con su ecuación paramétrica. Así que sabemos que todos los puntos que pertenecen a $L$ son de la forma...
$\lambda(-1,1,1)+(3,-3,-3)=(-\lambda+3,\;\lambda-3,\;\lambda-3)$
con $\lambda \in \mathbb{R}$
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Entonces, al igual que hicimos en el ítem anterior, veamos para cada punto que nos propone el enunciado si existe ese $\lambda$ 😉
➡️ $P_{1}=(3,-3,-3)$
$(3,-3,-3)=(-\lambda+3,\;\lambda-3,\;\lambda-3)$
$\begin{cases} 3 = -\lambda + 3\\ -3 = \lambda - 3\\ -3 = \lambda - 3 \end{cases}$
Las tres ecuaciones se verifican con $\lambda = 0$ ✔️
Por lo tanto, el punto $P_{1}=(3,-3,-3)$ sí pertenece a la recta $L$
➡️ $P_{2}=(0,0,0)$
$(0,0,0)=(-\lambda+3,\;\lambda-3,\;\lambda-3)$
$
\begin{cases}
0 = -\lambda + 3\\
0 = \lambda - 3\\
0 = \lambda - 3
\end{cases}
$
Las tres ecuaciones se verifican con $\lambda = 3$ ✔️
Por lo tanto, el punto $P_{2}=(0,0,0)$ sí pertenece a la recta $L$
➡️ $P_{3}=(-1,1,1)$
$(-1,1,1)=(-\lambda+3,\;\lambda-3,\;\lambda-3)$
$
\begin{cases}
-1 = -\lambda + 3\\
1 = \lambda - 3\\
1 = \lambda - 3
\end{cases}
$
Las tres ecuaciones se verifican con $\lambda = 4$ ✔️
Por lo tanto, el punto $P_{3}=(-1,1,1)$ sí pertenece a la recta $L$
➡️ $P_{4}=(3,4,0)$
$(3,4,0)=(-\lambda+3,\;\lambda-3,\;\lambda-3)$
$
\begin{cases}
3 = -\lambda + 3\\
4 = \lambda - 3\\
0 = \lambda - 3
\end{cases}
$
❌ En este caso, no hay un único valor de $\lambda$ que haga que se verifiquen las tres ecuaciones en simultáneo.
Por lo tanto, el punto $P_{4}=(3,4,0)$ no pertenece a la recta $L$
➡️ $P_{5}=\left(\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}\right)$
$
\left(\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}\right)=(-\lambda+3,\;\lambda-3,\;\lambda-3)
$
$
\begin{cases}
\tfrac{2}{3} = -\lambda + 3\\
\tfrac{2}{3} = \lambda - 3\\
\tfrac{2}{3} = \lambda - 3
\end{cases}
$
❌ En este caso, tampoco hay un único valor de $\lambda$ que haga que se verifiquen las tres ecuaciones en simultáneo.
Por lo tanto, el punto $P_{5}=\left(\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}\right)$ no pertenece a la recta $L$
💡 Consejo, igual que antes, graficá la recta $L$ y cada uno de los puntos en GeoGebra 3D para chequear que los resultados a los que llegamos efectivamente son correctos :)
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